Bu sorunun üç cevabı var:
1. (matematiksel olarak) evet.
2. (matematiksel olarak) paradoks.
3. (konsept olarak) bilmiyorum.
1.Evet
Sonsuz olduğunu bildiğimiz, pozitif reel sayılar kümesini (pr) ve pozitif tamsayılar kümesini (pt) ele alalım ve bu kümenin elemanlarını bire bir eşlemeye başlayalım.
pt ------------------------ pr 1 ------------------------- 1
2 ------------------------- ?
Daha 2. adımda eşleşme tıkandı çünkü pr kümesinde, pt kümesindeki 2. eleman olan 2 sayısına karşılık gelecek, 2. bir sayıyı bulmak imkansız. 1'e alabildiğince yakın olan bir sayı bulsak bile bu sayının ondalık kısmının sol tarafına bir 0 daha eklemek mümkün. bu nedenle, sonsuz sayıda elemanı olan pozitif reel sayılar kümesi, sonsuz sayıda elemanı olan pozitif tamsayılar kümesini kapsar/ondan daha büyüktür denilebilir.
Burada belirtilmesi gereken çok önemli iki husus var:
a)Tamsayılar kümesi, sayılabilir sonsuzluk içerirken, reel sayılar kümesi sayılamayan sonsuz sayıda eleman içerir. yani, tamsayılar kümesindeki elemanlar tek tek sayılabilir: 1, 2, 3, ...; öte yandan reel sayılar kümesi için böyle bir şeyden bahsetmek mümkün değildir.
b)Sonsuzluklar arasında bir katman/seviye farkından bahsedilebilir. söz gelimi, tamsayılar kümesi i. dereceden bir sonsuzluksa, reel sayılar kümesi kümesi i+n. dereceden bir sonsuzluktur.
2.Paradoks
Sonsuz odalı otel problemli/paradoksu, epey bir kişinin ilgilendiği bir problem. sözlükten bir alıntı yapacağım:
"Sonsuz odali otele geldiniz, cok yorgunsunuz ve bir oda istiyorsunuz. resepsiyon gorevlisi uzulerek bildiriyor ki butun odalar dolu! siz de soyle bir sey oneriyorsunuz: musterilerden rica etsek, herkes kendi odasindan cikip bir ust numarali odaya gecse... yani 1 numarali odanin musterisi 2 numaraya gecse, 2 numaranin musterisi 3 numaraya gecse, vs vs... boylece mevcut musterilerden hicbiri acikta kalmiyor, ve 1 numarali oda sizin gecebilmeniz icin bosalmis oluyor! boylece hic bos oda olmayan otelde, kimseyi disari atmadan bir adet bos oda yarattiniz.
Oteli o kadar cok begeniyorsunuz ki ertesi gun sonsuz tane arkadasinizi toplayip ayni otele gidiyorsunuz. maalesef, butun odalar yine dolu! yukaridaki yontemle kendinize bir oda acabilirsiniz ama ya arkadaslariniz? bu sefer de soyle bir cozum oneriyorsunuz: musterilerden rica etsek, herkes kendi odasindan cikip iki kati numarali odaya gecse... yani 1 numaranin musterisi 2 numaraya, 2 numaranin musterisi 4 numaraya, 3 numaranin musterisi 6 numaraya gecse, vs vs... boylece mevcut musteriler cift numarali odalara dagiliyor ve hicbiri acikta kalmiyor, siz de arkadaslarinizla beraber tek numarali odalara yerlesiveriyorsunuz! yine kimseyi disari atmadan sonsuz tane bos oda yarattiniz."
Şimdi bu soruyu bir adım ileriye götürelim. diyelim ki otelin avlusuna içlerinde sonsuz sayıda yolcu bulunan, sonsuz sayıda otobüs gelmiş olsun ve otel dolu olduğu halde, yeni gelen bu yolcular da otelde kalmak istesin. (dikkat: 1. cevaptaki b maddesinde olduğu gibi, burada da sonsuzlar arasında bir katman farkı bulunmakta.) böyle bir durumda ne yapılabilir?
Tüm müşterilerin odaya yerleştirildiği bu iki yöntemden,
a) Birincisine göre bazı odaların boş kalması, daha yüksek katmanlı bir sonsuzluğun (sonsuz otobüsteki sonsuz sayıda insanın), düşük katmanlı bir sonsuzluğun içine (sonsuz oda) tamamen sığabildiği ve geriye hala boşluklar kaldığı,
b) İkincisine göre bütün odalarım tamamen dolması, daha yüksek katmanlı bir sonsuzluğun (sonsuz otobüsteki sonsuz sayıda insanın), düşük katmanlı bir sonsuzluğun içine (sonsuz oda) geriye boşluk kalmayacak şekilde tamamen sığabildiği,anlamına gelir.
Bu durum da, 1. cevapla ve evrensel küme/birbirlerini içeren kümeler konseptiyle çelişerek, çok belirgin bir şekilde paradoksa yol açmaktadır.
3.Bilmiyorum.
Konsept olarak sonsuzluk kavramı, matematiksel sonsuzluktan çok daha öte bir yerlerde. matematikte limit alınarak ya da asimptotik olarak sonsuzluk kavramına yaklaşılabilse de, felsefi anlamda john locke'a göre,
"Sonsuzluk kavramı hakkında hiçbir uygun fikre sahip olamayız. bütün fikirlerimiz algılarımız ve izlenimlerimiz sayesinde oluşmaktadır, bütün algılar ve izlenimler de doğaları gereği sonlu olduğu için, düşünce ve fikirlerimiz de sonludur. bu da, sonsuzluk kavramına dair fikirlerimiz her zaman eksik kalacaktır."
Öte yandan tanım gereği sonsuz bir evren, içinde akla gelebilecek ya da gel(e)meyecek bütün "şeyleri" ihtiva edecektir. şayet içinde yaşadığımız evren sonsuz olsaydı/ise, söz gelimi evrenin şu an bir yerlerinde bir basketbol potasının üzerinde amuda kalkmış ve pac-man oynayan haki renkte bir fil olması gerekirdi. öte yandan, farklı fizik kanunlarının işlediği ve farklı bir bilinç düzeyinin (ki bu bilinç konusunda, bir ara detaylı bir entry girmek istiyorum) hakim olduğu başka bir evrende ise, çok daha farklı ve değişik ve bu evrenden oraya transfer olmadığımız ve bilincimiz o seviyelere göre tasarlanmadığı sürece asla algılayamayacağımız farklı "olayların" gerçekleşmesi gerekirdi.
Dolayısıyla, kavramsal anlamda bu sorunun cevabını bilmek pek mümkün görünmemekte.