Gödel İle Hanefi Avcı'nın Eksiklik Teoremi...

Eksiklik Teoremi, Kurt Friedrich Gödel’ in1931 yılında doktorasında verdiği “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.” (Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine) başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir. Bu bildiri matematik dünyasında büyük yankıya neden olup, bundan sonra matematiğin yönü değişmiştir.

Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

“1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir.

2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.”

Başka bir deyişle :

1. Sistem aynı zamanda hem tutarlı hem de eksiksiz olamaz. (Bu genellikle eksliklik teoremi olarak bilinir).

2. Belitlerin tutarlılığı sistem içerisinde kanıtlanamaz.

Ayrıca Albert Einstein’ e maledilen bir söz vardır : “Bir sorun’ un çözümü, o sorun’ un meydana geldiği paradigma içinde kalarak, o paradigmanın verileri ile elde edilemez.”

Einstein’ nin bu sözü de Gödel’ in 4. üncü teoremini açıklamaktadır. Ancak Hanefi Avcı “Haliçte Yaşayan Simonlar” başlıklı kitabında, bilerek ya da farkında olmadan Gödel’ in sözü edilen teoremine, matematiksel değil, ama sözel olarak büyük bir açıklık getirmektedir. Bunun için kitabın ilgili bölümüne bir göz atalım. Hanefi Avcı diyor ki :

“İstanbulda görev yaptığım 1992 – 1996 yılları arasında görev yerim Gayrettepedeydi. Her gün akşam geç saatte, özellikle saat 23.00 sularında Gayrettepeden çıkıp evimize giderken Haliçten geçiyorduk. Haliç o zamanlar inanılmaz kötü kokuyordu, tam olarak lağım kokusu duyuluyordu ve ben bu kokuya dayanamıyordum. Arabanın bütün camlarını kapatıyordum. Koku gelmesin diye burnumu parmaklarımla kapatmama rağmen Haliçten gelen hafif bir koku bile midemi bulandırmaya yetiyordu. Haliçten geçmek benim için bir ölümdü, daha yaklaşmadan Ok Meydanında burnumu kapatmam gerekiyordu, ta ki tüneli geçinceye kadar. Fakat Haliç’in etrafında yaşayan insanlara bakıyordum; onlar parklarda geziyor, yemek yiyor, hatta bir kısmı piknik yapıyordu, bu kötü kokudan sanki hiç rahatsız değillerdi. Bu durum bana tuhaf gelmişti. Demek ki, kötü bir ortamda bulunan insanlar bir müddet sonra oraya uyum sağlayıp alışıyorlar ve bu ortamın çirkinliğini göremiyorlardı. Ne kadar kötü ve sağlıksız bir ortamda bulunulursa bulunulsun bir süre sonra kişinin bünyesi bu duruma uyum sağlayarak kötülüğün farkına varamıyordu..

Bir an için düşündüm. İnsanın içinde bulunduğu koşullara gösterdiği uyum, pis kokan bir ortama bile uzun süre kalınca alışması, bunu kabullenmesi sadece fiziki ortamla mı ilgiliydi? Yoksa düşünceler, sosyal davranışlar, etik kurallar gibi toplumsal hayatı etkileyen unsurlar için de geçerli miydi? Aynı şekilde ortama uyum sağlama anlayışını toplumsal hayatın bütün alanlarına yansıtarak, içinde yaşadığımız çok kötü ortamı bile normalleştirmiştik, dolayısıyla hiçbir rahatsızlık duymadan yaşıyorduk.

İnsanlar uzun süre kaldıkları ortamda yanlışlıklara, hatalara ve bütün anormalliklere alışıyor, uyum sağlıyor. Türkiye için de aynı şey söz konusu. Hürriyetlerin kısıtlandığı, baskının hakim olduğu, yanlış ve mantığa uygun olmayan bir Türk idari sistemi, Türk toplum yapısı ve özellikle kirli, yozlaşmış bir kamu sistemi içersinde uzun süre kalan ve bu atmosferi teneffüs eden insanlar, bizler hepimiz, bu ortamın kötülüğünü, pisliğini artık algılayamıyoruz….”

Hanefi Avcı böyle söyleyerek aynı ortam ya da küme içindeki insanlar ile onların düşünebilecekleri yöntemlerle var olan sorunlara bir çıkar yol bulunamıyacağını anlatmaya çalışıyor. “Zira küme içindekiler sorunların farkında bile değillerdir” diyor.

O halde ne yapmalı?…

Çözümleri getirebilmek için, ya ortamın (kümenin) dışında olarak gerçekleri gözlemleyebilmeli, ya da ortamın (kümenin) içinde olduğumuz halde, zihnen dışına çıkıp gerçekleri açıklıkla görebilmeliyiz.

Bunun ikincisine en güzel örnek Mustafa Kemal ATATÜRK’ tür. O Osmanlı düzeni içinde yetişmiş olduğu, bir Osmanlı paşası olduğu halde, zihnen içinde bulunduğu kümenin dışına çıkarak, gerçekleri açık bir biçimde görmeyi başarmıştır. Bundan ötürü de ulusu düşmüş olduğu derin uçurumun dibinden çıkarıp, dağların doruklarına yükseltmeyi başarmıştır.

Bunun tersi durumda olan Osmanlı Padişahı ile çevresidir. Bunlar içinde bulunulan korkutucu durumun hiç farkında olmadıklarını, Sevr Antlaşmasını kabul edip, işgal kuvvetlerine gösterdikleri kolaylıklarla, ulusun kurtuluş yolu olan Kurtuluş Savaşını devlete karşı bir isyan gibi algılayıp, ilan ederek gösterdiler. Onların önerdikleri çözüm yolları geçerli olsaydı bu gün Türk ulusu yok olup gitmişti.

Birinciye örnek ise 21 Şubat 2001 tarihinde başlayan ekonomik kriz sonrası, dışardan Kemal Derviş’ in getirilerek soruna çözüm aranmasıdır. Kemal Derviş yurt dışında çalışan bir bürokrat olduğundan, sorunu dışardan gözlemleyerek ekonomik çözümleri getirmeyi başarmıştır.

Bütün bunlardan anlaşılıyor ki, metematiğin en karmaşık teoremleri (Kurt Gödel’ in Eksiklik Teoremi gibi) bile, sade bilimsel araştırmalarda değil, günlük yaşam içinde de işe yarayabiliyor. Sorunların çözümlerine ışık tutabiliyor.

Bu durum, “Matematikte dört işlemden ötesi yaşamda ne işe yarar ki…” diyenlerin kulaklarına küpe olmalıdır!!…

Kurt Friedrich Gödel Kimdir ? (28 Nisan 1906 – 14 Ocak 1978)

Mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan Gödel’in Eksiklik Teoremi ile tanınır.

Teoremlerinde tam sayı aritmetiğini içerecek kadar karmaşık herhangi bir sistemin içinde, sistemin aksiyomlarından yola çıkarak doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamayacak önermeler bulunacağını ispatlamıştır. Bunun için ise Gödel numaralandırması ismi verilen bir metod geliştirmiştir. Meşhur teoremini Viyana Üniversitesindeki doktora çalışması sırasında 1931 yılında ispatlamış, bununla 20. yüzyıl matematiğinin yönünü değiştirmiştir.

1940′larda Princeton Üniversitesi İleri Araştırmalar Enstitüsünde Kurt Gödel, Einstein’ın kütle çekimi alanı denklemlerine, ekseni etrafında dönen bir evreni tanımlayan bir çözüm getirdi. Evrenin dönüşü ışığı (ve dolayısıyla cisimler arsındaki nedensellik bağlarını da) birlikte sürükleyecekti. Dolayısıyla maddi cisimde, ışık hızını aşmaya gerek kalmaksızın uzayda ve zamanda kapalı bir halka çizecekti. Gödel’in modeli, zamanda geriye gitmenin görelilik kuramınca yasaklanmadığını ortaya koydu. Kurt Gödel, Einstein’ın alan denklemlerini kullanarak, bir evren modeli tasarladı. Tasarım Einstein’ınkine benziyordu ama Gödel’in yaklaşımında kozmolojik sabitlere negatif bir değer veriliyordu. Einstein da kuramının bazı durumlarda geçmişe yolculuğa izin verdiği düşüncesinden rahatsızlık duyduğunu ifade etmiştir. Yalnız Gödel’in bu modeli gökbilimcilerin gözlemlediği kütleçekimsel kızıla kayma tarafından yanlışlanmaktadır.

İçine kapanık bir kişiliği olan Gödel, son yıllarında zehirleneceği paranoyasına kapılarak hiçbir şey yememeye başlamış, bunun sonucunda beslenme eksikliğinden 14 Ocak 1978′de Princeton’da ölü bulunduğunda cenin pozisyonundaydı ve sadece 29.5 kiloydu.